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2015年5月25日 星期一

群(Group)、環(Ring)、體(Field)

0.參考資料
《近世代数》熊全淹,武汉大学出版社 http://book.douban.com/subject/1237762/
「抽象代數」 真的抽象嗎 ? ( 上 ),沈淵源,數學傳播 36 卷 2 期 , pp. 34-51
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d362/36204.pdf
幾個著名定理,徐健策 http://math1.ck.tp.edu.tw/徐健策/doc/專題教材/專題/幾個著名定理.pdf

1.等價關係
對於集合 S,” ” 是定義在 S 中的一種關係,若此關係滿足:
(1) 自反性 (Reflexive):aS,aa
(2) 對稱性 (Symmetric):若 ab,則 ba
(3) 傳遞性 (Transitive):若 abbc,則 ac
則此種關係稱為等價關係。

“模 m 同餘”是整數集合中的一個等價關係。

2.同餘類
所有模 m 彼此同餘的整數組成一類,稱為整數的一個模 m 同餘類。整數 a 所在的同餘類記為 [a]

對任意整數 a, b, [a]=[b] if and only if ab (mod m)。

Zm={[0],[1],,[m]}

3.完全剩餘系
m 個同餘類中每個同餘類取一個整數,這 m 個整數稱為完全剩餘系,簡稱 (模 m 的) 完系。

例如 Z3={1,0,1}={0,1,2}

4.群(Group)
定義:一個集合 G 上的一個二元運算(binary operation) × (稱之為乘法)滿足「封、結、單、反」四個性質,我們就說 G 在運算 × 之下形成一個群,或說 (G,×) 是一個群。其中
  • 封:封閉性(Closure)
  • 結:結合性(Associativity)
  • 單:存在單位元素(Identity)
  • 反:每個元素都有反元素(Inverse)
如果運算 × 是可交換的,我們就說 (G,×) 是一個交換群(commutative group),通常又稱為阿貝爾(N. H. Abel, 1802-1829)群(Abelian group)。

5.環(Ring)
定義:一個集合 R 包含有加(+)、乘(×)兩種二元運算並且滿足

  • (R,+) 為交換群(加法單位元素記為 0
  • 封:乘法之封閉性
  • 結:乘法之結合律
  • 單:存在乘法之單位元素
  • 分配律:a,b,cR, (a+b)×c=a×c+b×c
符合以上五點之 (R,+,×),稱之為環。

如果運算 × 是可交換的,我們說 (R,+,×) 是交換環(commutative ring)。


由同餘式的性質我們可以定義:[a]+[b]=[a+b][a][b]=[ab][a]×[b]=[a×b]。所以 Zm中可以自然的進行加、減、乘三種運算,稱為 (模 m) 同餘類環


6.體(Field)
定義:一集合 F,二元運算 + (加法),與二元運算 × (乘法),滿足:


  • (F,+,×) 為交換環
  • 除了 0 以外的元素均存在乘法反元素
符合以上二點之 (F,+,×),稱之為體。
7.一些代數表示
Z[n]={a+bna,bZ}

Zm={[0],[1],,[m]}