群(Group)、環(Ring)、體(Field)

0.參考資料
《近世代数》熊全淹，武汉大学出版社 http://book.douban.com/subject/1237762/
「抽象代數」 真的抽象嗎 ? ( 上 )，沈淵源，數學傳播 36 卷 2 期 , pp. 34-51
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d362/36204.pdf
幾個著名定理，徐健策 http://math1.ck.tp.edu.tw/徐健策/doc/專題教材/專題/幾個著名定理.pdf

1.等價關係
對於集合 $S$，” $\sim $ ” 是定義在 $S$ 中的一種關係，若此關係滿足：
(1) 自反性 (Reflexive)：$\forall a\in S,\; a\sim a$。
(2) 對稱性 (Symmetric)：若 $a\sim b$，則 $b\sim a$。
(3) 傳遞性 (Transitive)：若 $a\sim b$ 且 $b\sim c$，則 $a\sim c$。
則此種關係稱為等價關係。

“模 $m$ 同餘”是整數集合中的一個等價關係。

2.同餘類
所有模 $m$ 彼此同餘的整數組成一類，稱為整數的一個模 $m$ 同餘類。整數 $a$ 所在的同餘類記為 $[a]$。

對任意整數 $a$, $b$, $[a]=[b]$ if and only if $a\equiv b$ (mod $m$)。

$\mathbb{Z}_m=\left \{ [0],[1],\cdots ,[m] \right \}$

3.完全剩餘系
在 $m$ 個同餘類中每個同餘類取一個整數，這 $m$ 個整數稱為完全剩餘系，簡稱 (模 $m$ 的) 完系。

例如 $\mathbb{Z}_3=\left \{ -1,0,1 \right \}=\left \{ 0,1,2 \right \}$。

4.群(Group)
定義：一個集合 $G$ 上的一個二元運算(binary operation) $\times $ (稱之為乘法)滿足「封、結、單、反」四個性質，我們就說 $G$ 在運算 $\times $ 之下形成一個群，或說 $(G, \times  )$ 是一個群。其中

• 封：封閉性(Closure)
• 結：結合性(Associativity)
• 單：存在單位元素(Identity)
• 反：每個元素都有反元素(Inverse)

如果運算 $\times $ 是可交換的，我們就說 $(G, \times  )$ 是一個交換群(commutative group)，通常又稱為阿貝爾(N. H. Abel, 1802-1829)群(Abelian group)。

5.環(Ring)
定義：一個集合 $R$ 包含有加($+$)、乘($\times $)兩種二元運算並且滿足

• $\left ( R,+ \right )$ 為交換群（加法單位元素記為 $0$）
• 封：乘法之封閉性
• 結：乘法之結合律
• 單：存在乘法之單位元素
• 分配律：$\forall a,b,c\in R$, $(a+b)\times c = a\times c+b\times c$

符合以上五點之 $(R,+,\times )$，稱之為環。

如果運算 $\times$ 是可交換的，我們說 $(R,+,\times )$ 是交換環(commutative ring)。

由同餘式的性質我們可以定義：$[a]+[b]=[a+b]$； $[a]-[b]=[a-b]$；$[a]\times [b]=[a\times b]$。所以 $\mathbb{Z}_m$中可以自然的進行加、減、乘三種運算，稱為 (模 $m$) 同餘類環。

6.體(Field)

定義：一集合 $F$，二元運算 $+$ (加法)，與二元運算 $\times $ (乘法)，滿足：

• $(F,+,\times )$ 為交換環
• 除了 $0$ 以外的元素均存在乘法反元素

符合以上二點之 $(F,+,\times )$，稱之為體。
7.一些代數表示
$\mathbb{Z}\left [ \sqrt{-n} \right ]=\left \{ a+b\sqrt{-n}\mid a,b\in \mathbb{Z} \right \}$

$\mathbb{Z}_m=\left \{ [0],[1],\cdots ,[m] \right \}$